1 机器人坐标系

1.1 关节坐标系

图1 关节坐标系

关节坐标是工业机器人*基本的坐标系。如图1所示的工业机器人具有六个自由度，j1,j2,j3,j4,j5,j6这六个自由度给定六个关节的角度值（单位为°,旋转方向如图1中箭头方向所示）。习惯上将这六个自由度叫作机器人的六个轴。

1.2 世界坐标系

世界坐标系如图2所示,是一种笛卡尔坐标系，它类似于一般数控机床的机床坐标系。它包括原点和符合右手定则的XYZ三个坐标轴。其中，原点是机器人底座的中心点，X轴正向指向机器人的正前方，Z轴指向机器人的正上方，Y轴由右手定则规定，即指向如图2所示的右方。世界坐标系同样具有六个自由度。这六个自由度包括三个位置x,y,z和三个角rx,ry,rz。在机器人尚未夹持工具的情况下，x,y,z代表第六轴法兰盘圆心相对于原点的位置偏移量。rx,ry,rz代表第六轴法兰盘的轴线角度，由初始姿态即竖直向上绕z轴旋转rz度，再绕y轴旋转ry度，再绕x轴旋转rx度得到。

图2 世界坐标系

1.3 工具坐标系

图3 机器人第六轴法兰盘

工具坐标系类似于数控机床的刀补。首先，在机器人尚未夹持工具（如焊枪、油漆喷头等）的时候，机器人默认第六轴法兰盘的中心位置（如图3所示）为工具坐标原点，相应的X轴、Y轴在法兰盘平面内，Z轴由右手定则决定，即为第六轴的轴线。如果机器人手臂末端需要安装工具的时候，使用者不再关心机器人第六轴法兰盘的位置和角度，而更关心焊枪、油漆喷头等工具*终的位置和角度，这时，就需要对工具坐标系进行赋值。工具坐标系记录执行工具的尺寸信息，其中包含toolx,tooly,toolz三个位置偏移信息和toolrx,toolry,toolrz三个角度旋转信息。

这即说明，*终工具的工作点相对于图3所示的原点的位置偏移量为toolx,tooly,toolz，工具的工作轴线是绕相对于图3坐标系中的z轴旋转rz度，再绕y轴旋转ry度，再绕x轴旋转rx度得到。例如，本项目使用激光头作为工具，如图4所示，激光头的几何尺寸如图5所示。激光头的几何尺寸经过计算，激光头对应的工具坐标即为：toolx=-15.097;tooly=0;toolz=307.405;toolrx=0;toolry=35; toolrz=0。（实际中，机器人厂家可以通过五点示教的方法对工具坐标进行赋值，在此不再赘述）。

图4 机器人与工具（激光头）

图5 激光头的关键几何尺寸

2 线性代数理论基础

众所周知，在平面几何中，在平面XY中某一向量，值为,如果将此向量逆时针旋转θ度，根据线性代数理论,其旋转后的坐标值为。

同理，在立体几何中，如图6(a)所示，某一向量的值为,如果将此向量绕Z轴逆时针旋转θ度，根据线性代数理论,其旋转后的坐标值为

图6 坐标系旋转

如图6(b)所示，某一向量的值为,如果将此向量绕Y轴逆时针旋转θ度，根据线性代数理论,其旋转后的坐标值为。

如图6(c)所示， 某一向量的值为,如果将此向量绕X轴逆时针旋转θ度，根据线性代数理论,其旋转后的坐标值为。

3 已知关节坐标求解世界坐标

3.1 机器人尺寸和关节坐标与直角坐标

不带工具坐标系的机器人初始状态，即各关节j1,j2,j3,j4,j5,j6（单位为度）为0度位置，如7所示(图中长度数据单位为mm)。

图7 机器人关键尺寸和初始姿态

当关节坐标j1,j2,j3,j4,j5,j6不为零时，机器人的工作状态如图8所示。

图8 机器人的一般工作姿态

3.2 不带工具坐标系的角度公式

对于图7所示的初始位置,机器人的第六轴竖直向上，指向Z轴正方向，用向量表示此方向为。而对于某个工作位置（图8），是由**二三四五六各轴旋转角度为j1，j2，j3，j4，j5，j6得到的。

六个轴的旋转分六步。第六轴先旋转j6角度，相当于绕Z轴逆时针旋转j6度后，第六轴Z轴指向变为，同理，第五轴旋转j5角度后，第六轴Z轴指向相当于向量再绕X轴顺时针再旋转j5角度，用向量表示

第四轴的旋转j4角度相当于上述向量再绕Z轴逆时针旋转j4角度，第三轴的旋转相当于再绕X轴逆时针旋转j3角度，第二轴的旋转相当于再绕X轴逆时针旋转j2角度，**轴的旋转相当于绕Z轴逆时针旋转j1角度，*终向量表示为

为了方便起见，不妨采用以下简化记法:

[j2矩阵]！= [j1矩阵]× [j2矩阵]

[j3矩阵]！= [j1矩阵]× [j2矩阵] × [j3矩阵]

[j4矩阵]！= [j1矩阵]× [j2矩阵] × [j3矩阵]× [j4矩阵]

[j5矩阵]！= [j1矩阵]× [j2矩阵] × [j3矩阵]× [j4矩阵]× [j5矩阵]

[j6矩阵]！= [j1矩阵]× [j2矩阵] × [j3矩阵]× [j4矩阵]× [j5矩阵] × [j6矩阵]

在7不带工具坐标的情况下，对于关节坐标为（j1,j2,j3,j4,j5,j6）的位置时，第六轴Z轴指向为

[j6矩阵]！×。

而在世界坐标系中，角度rx、ry、rz代表第六轴法兰盘轴线先后绕Z轴、Y轴和X轴旋转的角度。记：

[r矩阵]=[rx矩阵] ×[ry矩阵]×[rz矩阵]。

即，对于世界坐标（x,y,z,rx,ry,rz）,是指第六轴轴线指向变为：

[rx矩阵] ×[ry矩阵]×[rz矩阵] ×。

因此，已知关节坐标（j1,j2,j3,j4,j5,j6）求世界坐标系中的角度问题，即求rx、ry、rz的公式为：

例如，当关节坐标为（10，20，30，40，50，60）时，求其世界坐标角度值rx、ry、rz。

此方程展开后含有rx, ry, rz三个未知数及三个方程，因而可求。

3.3 不带工具坐标系的位置公式

机器人由六个关节组成，末端手臂的位置向量是这六个关节位置向量的矢量和。对于项目中的史陶比尔机器人，各关节的尺寸已知，如图7所示，不妨记x1=150,z2=825,z3=132,z4=625-132=493,z5=110。

**关节:在j1角度为0的情况下，位置向量是在X轴正向偏移x1距离，而j1角度不为零时，位置向量则为[j1矩阵]×。

第二关节:在j1，j2角度皆为0的情况下,位置向量是，而j1,j2不为零的时候，位置向量则为

[j2矩阵]！×。（注意这里的[j2矩阵]! = [j1矩阵]×[j2矩阵]。）第三关节: j1，j2，j3不为零时，位置向量为

[j3矩阵]！×。

第四关节: j1，j2，j3，j4不为零时，位置向量为

[j4矩阵]！×。

第五关节: j1，j2，j3，j4，j5不为零时，位置向量为

[j5矩阵]！×。

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